Учебные курсы...  
Основы математического моделирования
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:
Владимир Сергеевич Захаров
(д.г.-м.н., профессор)             

АВТОРЫ КУРСА:
доц. Ершов Андрей Викторович
проф. Захаров Владимир Сергеевич

Геологический факультет МГУ.
Кафедра региональной геологии и истории Земли и кафедра динамической геологии.


Курс читается в 7 семестре для студентов специальности "Геология" (специализация "Компьютерные технологии в геологических исследованиях").
Объем курса 28 часов: лекции - 14 часов, лабораторные - 14 часов.
Формы контроля: текущий контроль - выполнение лабораторных работ, итоговый контроль - зачет.


Аннотация.

Понятие о моделях и моделировании. Принципы и методы построения и анализа математических моделей. Численные методы и математическое моделирование. Методы численной интерполяции и аппроксимации. Линейная инерполяция, полиномиальная интерполяция, экспоненциальная интерполяция, сплайны. Фурье-анализ. Преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье. Понятие об анализе временных рядов. Численное интегрирование и численное дифференцирование. Метод наименьших квадратов. Численное решение нелинейных уравнений. Метод деления пополам, метод Ньютона, метод трапеций. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса, метод итераций. Общее понятия о способах решения дифференциальных уравнений. Задание начальных и краевых условий. Дискретизация. Явные и неявные методы численного решения. Общие понятия о сходимости, устойчивости, погрешности аппроксимации. Понятие о методах конечных разностей, конечных объемов и конечных элементов. Обыкновенные дифференциальные уравнения и методы их численного решения. Метод Эйлера, метод Рунге-Кутты, метод предиктор-корректор. Дифференциальные уравнения в частных производных. Методы их численного решения. Понятие о методах Монте-Карло. Генератор случайных чисел.

В курсе предусмотрены лабораторные работы, при выполнении которых студенты строят модели и исследуют особенности их динамики на компьютере.


Содержание курса

Ведение.
Понятие о моделях и моделировании. Компьютерное моделирование. Принципы и методы построения и анализа математических моделей. Основные этапы компьютерного моделирования. Значение моделирования в научных исследованиях.

1.Основы теории погрешностей.
Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Вычислительная погрешность. Погрешности арифметических действий с приближенными числами. Погрешность функции одной переменной. Вычисление машинного эпсилон.

2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.
Постановка задачи. Отделение корней. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции). Метод хорд. Метод Ньютона (метод касательных). Метод секущих. Метод простой итерации. Условия сходимости итерационных процессов.

3. Некоторые методы решения СЛАУ.
Стандартная запись СЛАУ. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Метод прогонки (для систем с трехдиагональной матрицей). Итерационные методы (простых итераций и Зайделя). Условия сходимости итерационных процессов. Нормализация матриц.

4. Аппроксимация и интерполирование функций.
Метод наименьших квадратов. Постановка задачи интерполирования. Условия Лагранжа. Интерполяция каноническим полиномом. Интерполяция полиномом Лагранжа. Интерполяционный полином Ньютона. Интерполяция кубическим сплайном.

5. Минимизация функций (поиск минимума).
Постановка задачи о минимизации. Минимизация функции одной переменной. Метод золотого сечения. Минимизация функции многих переменных. Метод координатного спуска. Метод градиентного спуска.

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы решения дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Задача Коши для ОДУ 1-го порядка. Численное решение задачи Коши. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутты 2-го порядка. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Оценка погрешности численного метода. ОДУ высших порядков и системы ОДУ 1-го порядка. Задача Коши для ОДУ n-го порядка. Краевая задача для ОДУ.

7. Решение ДУ в частных производных методом конечных разностей.
Понятие о методе конечных разностей (МКР). Дискретизация функций. Представление производных в конечных разностях. Конечно-разностная аппроксимация ОДУ. Представление частных производных в конечных разностях. Конечно - разностная аппроксимация ДУ в частных производных. Согласованость, устойчивость, сходимость разностной схемы. Численное решение одномерного уравнения теплопроводности МКР. Постановка задачи и граничные условия. Явный метод. Неявный метод.

Литература

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978, 512 с.
2. Тихонов, Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966 г.
3. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. в 2-х томах. Москва-Ижевск, 2003.
4. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций СПб., БХВ-Петербург, 2004, 320 с.
5. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск, МП "РАСКО", 1991, 271 с.
6. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М., Мир, 1980, 279 с.
7. Харбух Дж., Боннем-Картер Г. Моделирование на ЭВМ в геологии. М.: Мир, 1974, 320 с.